| 课程编码： |
S110023002 |
学分： |
6 |
| 英文名称： |
Mathematical Analysis |
| 学时： |
96学时 |
|
实践学时： |
6学时 |
| 开课学期： |
第一学年第2学期 |
| 适用专业： |
数学与应用学专业 |
| 课程平台： |
专业教育平台 |
| 课程模块： |
学科基础课程模块 |
| 先修课程： |
|
| 教材：《华东师范大学数学系编《数学分析》（面向21世纪课程教材），北京：高等教育出版社出版，第四版，2010年7月 |
| 主要参考书： |
| [1] 陈傅璋等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1962 |
| [2] 欧阳光中等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1982。 |
| [3] 刘玉琏等，数学分析讲义（第三版），北京：高等教育出版社，1992。 |
|
|
|
|
|
一、课程性质及任务
1．课程性质：数学分析是数学与应用数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学与应用数学、统计学专业一、二年级学生的必修课。本课程总学时为276学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I），数学分析（II），数学分析（III）
2．课程任务：本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。
二、课程目标
《数学分析》是数学系最重要的基础课.它对后继课程(微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析)与近代数学的学习与研究具有非常深远的影响和至关重要的作用.通过本课程的学习，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、基本方法，培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力，为后继课打下坚实的基础。
三、课程的教学要求
（七）实数的完备性
1．关于实数集完备性的基本定理
（1）区间套定理
（2）聚点定理与有限覆盖定理
应重点掌握的内容：
1．了解区间套定理、柯西收敛准则，聚点定理和有限覆盖定理；
2．了解闭区间上连续函数性质的证明；
3．了解实数完备性基本定理的等价性、上下极限。
（八）不定积分
1．不定积分
（1）原函数与不定积分
（2）基本积分表
2．换元积分法与分部积分法
（1）换元积分法
（2）分部积分法
3．有理函数的不定积分
（1）有理函数的不定积分
（2）三角函数的不定积分
（3）简单无理函数的不定积分
应重点掌握的内容：
1、原函数的概念(识记)
2、不定积分的概念(识记)
3、运用凑微分法计算不定积分(应用)
4、几个基本积分变换的应用(应用)
5、分部积分法的应用(应用)
6、有理函数的不定积分计算的方法(应用)
7、综合运用上述方法求函数的不定积分(应用)
（九）定积分
1．定积分
（1）定积分的定义
（2）定积分的几何意义
2．牛顿-莱布尼兹公式
3．可积条件
4．定积分的性质
（1）定积分的性质
（2）定积分中值定理
5．定积分的计算
（1）积分上限函数
（2）定积分的换元积分法
（3）定积分的分部积分法
应重点掌握的内容：
1、理解曲边梯形的面积计算这实际背景(领会)
2、定积分的定义(识记)
3、几何上说明定积分是一个和式的极限的意义(领会)
4、计算一个函数的和式的极限(应用)
5、定积分存在的达布方法(应用)
6、定积分存在的充要条件的几何意义(应用)
7、可积函数的类型(应用)
8、从Riemann函数的可积性理解定积分存在的第二充分必要条件(应用)
9、定积分性质(应用)
10、牛顿—莱布尼茨公式(应用)
11、定积分计算的各种技巧(应用)
（十）定积分的应用
1．平面区域的面积
2．应用截面面积求体积
3．平面曲线的弧长
4．旋转体的侧面积
5．定积分在物理中的应用
应重点掌握的内容：
1、平面图形的面积(应用)
2、曲线弧长(应用)
3、体积和旋转曲面的面积(应用)
（十一）反常积分
1．反常积分概念
2．无穷积分的性质与收敛判别
3．瑕积分的性质与收敛判别
应重点掌握的内容：
1．掌握两种反常积分的定义和性质；
2．掌握反常积分的判敛法；
3．掌握反常积分的计算方法。
（十二）数项级数
1．级数的收敛性
2．正项级数
3．一般项级数
（十三）函数列与函数项级数
1．一致收敛性
2．一致收敛的函数列与函数项级数的性质
（十四）幂级数
1．幂级数
（1）幂级数的收敛域
（2）幂级数和函数的分析性质
（3）幂级数的运算
2．函数的幂级数展开
（1）泰勒级数
（2）初等函数的幂级数展开
应重点掌握的内容：
1、级数收敛和级数发散的定义(识记)
2、级数收敛与数列的收敛做比较(应用)
3、级数收敛的比较判别法(识记)
4、Cauchy判别法和比值判别法中的基本级数(应用)
5、正确运用上述判别法判别一个正项级数的收敛和发散(应用)
6、绝对收敛和条件收敛(识记)
7、Leibnizi判别法(应用)
8、Abel和Dirichlet判别法于一般项级数的收敛判别(应用)
9、函数列及其一致收敛性(识记)
10、函数项级数及其一致收敛性(应用)
11、柯西收敛准则、M一判别法、狄里克雷判别法阿贝尔判别法(应用)
12、一致收敛函数列与函数项级数的性质(应用)
13、幂级数的收敛半径的定义(识记)
14、收敛半径的求法(应用)
15、幂级数在收敛区域中及收敛区间的端点的性质(识记)
16、初等函数的幂级数展开的求法(应用)
17、运用绝对收敛的级数的性质将函数成展开幂级数(应用)
四、课程学时分配
| 内容 |
理论学时 |
| （一）实数的完备性 |
8 |
| （二）不定积分 |
12 |
| （三）定积分 |
10 |
| （四）定积分的应用 |
10 |
| （五）反常积分 |
10 |
| （六）数项级数 |
10 |
| （七）数项级数 |
10 |
| （八）幂级数 |
10 |
| 合计 |
90 |
五、课程的实践要求与内容
数学分析课程实践
| 序号 |
项目名称 |
内容提要 |
学时 |
结项要求 |
| 1 |
学期小论文 |
写一关于篇本学期内容的小论文 |
6 |
论文 |
| |
|
|
|
|
六、考核与成绩评定
1.考核方式：闭卷
2.考核标准与比例：百分制，期中10% +平时20%+学期小论文10%+期末60%
制定人：刘玉军
审定人：连颖颖
学院审核人：朱石焕
《数学分析》课程实践教学大纲
| 课程编码： |
S110023002 |
学分： |
6 |
| 英文名称： |
Mathematical Analysis |
| 学时： |
96学时 |
|
实践学时： |
6学时 |
| 开课学期： |
第一学年第2学期 |
| 适用专业： |
数学与应用学专业 |
| 课程平台： |
专业教育平台 |
| 课程模块： |
学科基础课程模块 |
| 先修课程： |
|
| 教材：《华东师范大学数学系编《数学分析》（面向21世纪课程教材），北京：高等教育出版社出版，第四版，2010年7月 |
| 主要参考书： |
| [1] 陈傅璋等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1962 |
| [2] 欧阳光中等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1982。 |
| [3] 刘玉琏等，数学分析讲义（第三版），北京：高等教育出版社，1992。 |
|
|
|
|
|
一、学期小论文目的及任务
提高学生对本学期内容的了解，进一步培养学生查阅文献资料和科学研究的能力。
二、学期小论文的基本要求
写一篇不少于2000字的小论文
三、实习地点及要求
校内、按时、按要求完成
四、学期小论文的内容
自选本学期的某个内容
五、学期小论文的具体日程安排
| 序号 |
实践内容 |
实践地点 |
时间安排 |
| 1 |
小论文 |
校内 |
第15周 |
| |
|
|
|
六、考核及成绩评定
占总成绩的10%
制定人：刘玉军
审定人：连颖颖
学院审核人：朱石焕
