课程编码：	S110023003	学分：	6
英文名称：	Mathematical Analysis
学时：	96学时	实践学时：	6学时
开课学期：	第二学年1学期
适用专业：	数学与应用数学专业
课程平台：	专业教育平台
课程模块：	学科基础课程模块
先修课程：
教材：《华东师范大学数学系编《数学分析》（面向21世纪课程教材），北京：高等教育出版社出版，第四版，2010年7月
主要参考书：
[1] 陈傅璋等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1962
[2] 欧阳光中等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1982。
[3] 刘玉琏等，数学分析讲义（第三版），北京：高等教育出版社，1992。

一、课程性质及任务

1．课程性质：数学分析是数学与应用数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学与应用数学、统计学专业一、二年级学生的必修课。本课程总学时为276学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I），数学分析（II），数学分析（III）

2．课程任务：本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。

二、课程目标

《数学分析》是数学系最重要的基础课.它对后继课程(微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析)与近代数学的学习与研究具有非常深远的影响和至关重要的作用.通过本课程的学习，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、基本方法，培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力，为后继课打下坚实的基础。

三、课程的教学要求

（十五）傅里叶级数

1．傅里叶级数

2．以2l为周期的函数的展开式

3．收敛定理的证明

应重点掌握的内容：

1、函数的Fourier系数的计算(应用)

2、三角函数系的正交的特性(应用)

3、推导函数的Fourier级数的部分和的Dirichlet积分表示(应用)

4、函数展开成它的Fourier级数(应用)

5、函数的Fourier级数的收敛区域(应用)

6、将一般周期的函数展开为一个三角级数(应用)

（十六）多元函数的极限与连续

1．平面点集与多元函数

（1）平面点集、邻域、聚点

（2）R²上的闭域套定理、聚点定理、有限覆盖定理

（3）多元函数的定义

2．二元函数的极限

（1）二元函数的极限

（2）累次极限

3．二元函数的连续性

应重点掌握的内容：

1、平面上的圆邻域和方邻域的代数表示以及几何表示(识记)

2、几何解释点与集合的关系：外点、内点、边界点，聚点、孤立点(识记)

3、开集、闭集的定义(识记)

4、平面上点列极限的分析定义(识记)

5、点列极限的Cauchy收敛准则,Cauchy准则的否命题(应用)

6、二元函数的定义(识记)

7、二元函数的极限的定义(识记)

8、二元函数的累次极限与重极限之间的关(应用)

9、求二元函数的极限(应用)

10、函数连续的定义(识记)

11、比较有界闭域上连续函数与闭区间上的一元连续函数的性质(应用)

（十七）多元函数微分学

1．可微性

（1）偏导数

（2）多元函数的全微分与可微条件

2．复合函数微分法

（1）复合函数的求导法则

（2）复合函数的全微分

3．方向导数与梯度

（1）方向导数的定义

（2）梯度

4．泰勒公式与极值

（1）二元函数的中值定理

（2）极值

应重点掌握的内容：

1、二元函数可微的定义(识记)

2、函数的偏导数的定义(识记)

3、偏导数与可微之间的关系(应用)

4、全微分的计算(应用)

5、复合函数的偏导数的计算(应用)

6、方向导数的定义和计算，梯度的定义和计算(应用)

7、高阶偏导数的定义和计算(应用)

8、混合偏导数与次序无关的条件(应用)

9、叙述和证明微分中值定理(应用)

10、叙述函数的Taylor公式(应用)

11、求函数的Taylor展开式(应用)

12、用函数的Taylor展开式做近似计算(应用)

（十八）隐函数定理及其应用

1．隐函数

（1）隐函数概念

（2）隐函数定理

2．隐函数组

（1）隐函数组概念

（2）隐函数组定理

3．几何应用

（1）平面曲线的切线与法线

（2）空间曲线的切线与法平面

（3）曲面的切平面与法线

4．条件极值

应重点掌握的内容：

1、叙述隐函数存在定理(识记)

2、隐函数的可微性以及导数的计算(应用)

3、隐函数的高阶导数的计算(应用)

4、叙述方程组确定的隐函数定理(应用)

5、函数组的Jacobi矩阵的表示(应用)

6、函数组的Jacobi行列式计算(应用)

7、方程组确定的隐函数组的偏导数的存在性条件和计算(应用)

8、叙述反函数组存在性定理(应用)

9、反函数组的偏导数计算(应用)

10、曲面的切平面、曲线的切线定义与方程(应用)

11、平面曲线的切线和法线方程的计算(应用)

12、空间曲线的切线和法平面方程的计算(应用)

13、切向量、法向量(应用)

14、方程组给出的空间曲线的切线、法平面方程的表示与计算(应用)

15、曲面的切平面和法线方程(应用)

16、条件极值(应用)

（十九）含参量积分

1．含参量正常积分

（1）含参量正常积分的概念

（2）含参量正常积分的性质

2．含参量的反常积分

（1）一致收敛性及判别法

（2）含参量反常积分的性质

3．Γ函数与B函数

（1）Γ函数

（2）B函数

（3）Γ函数与B函数的关系

应重点掌握的内容：

1、含参变量积分定义的函数连续、可微的条件(识记)

2、含参变量积分定义的函数可积的条件(应用)

3、积分交换次序时积分上下限的变化(识记)

4、含参变量积分的分析性质计算定积分(识记)

5、含参变量的反常积分的收敛性的定义(识记)

6、含参变量的反常积分不收敛的命题(应用)

7、与级数的收敛性做比较(应用)

8、含参变量的反常积分一致收敛的定义(识记)

9、含参变量的反常积分不一致收敛的命题(应用)

10、含参变量的反常积分一致收敛的Cauchy收敛准则及否命题(应用)

11、含参变量的反常积分一致收敛的级数等价条件(应用)

12、含参变量的反常积分一致收敛的Weierstrass M判别法(应用)

13、参变量的反常积分一致收敛的Weierstrass M判别法判定一致收敛性(应用)

14、Dirichlet一致收敛判别法(应用)

15、Abel一致收敛判别法(应用)

16、参变量的反常积分的性质(识记)

17、参变量的反常积分计算反常积分(应用)

18、函数、函数的定义和一些基本性质(识记)

（二十）曲线积分

1．第一型曲线积分

（1）第一型曲线积分的定义

（2）第一型曲线积分的计算

2．第二型曲线积分

（1）第二型曲线积分的定义

（2）第二型曲线积分的计算

应重点掌握的内容：

1、第一型曲线积分的定义(识记)

2、第一型曲线积分的物理意义(领会)

3、利用曲线的参数表示计算第一型曲线积分(应用)

4、参数形式下的弧长微分的表示(应用)

5、直角坐标下的弧长微分的表示(应用)

6、利用直角坐标表示的曲线方程计算第一型曲线积分(应用)

7、第二型曲线积分的定义(识记)

8、第二型曲线积分的物理意义(领会)

9、第二型曲线积分中曲线方向的意义(领会)

10、利用曲线的参数表示计算第二型曲线积分(应用)

11、利用直角坐标表示的曲线方程计算第二型曲线积分(应用)

12、两类曲线积分的联系(应用)

（二十一）重积分

1．二重积分概念

（1）二重积分的定义

（2）二重积分的性质

2．直角坐标系下二重积分的计算

3．格林公式

4．二重积分的变量替换

5．三重积分

（1）三重积分的概念

（2）化三重积分为累次积分

（3）三重积分的柱面坐标与球面坐标变换

6．重积分的应用

（1）曲面面积

（2）重心、转动惯量

应重点掌握的内容：

1、平面图形的面积的定义(识记)

2、平面图形面积的存在性条件(识记)

3、二重积分的定义(识记)

4、二重积分的几何意义(领会)

5、比较定积分的存在性条件，解释二重积分存在性条件(识记)

6、二重积分的性质，几何解释这些性质(领会)

7、直角坐标下的二重积分的计算：矩形区域，X—区域下化为累次积分的计算(应用)

8、二重积分的变量替换公式的表示(应用)

9、变量替换中的面积元素之间的关系(领会)

10、利用极坐标变换计算二重积分(应用)

11、三重积分的定义(识记)

12、三重积分化为累次积分的计算(应用)

13、三重积分的变量替换公式(应用)

14、利用柱坐标计算三重积分(应用)

15、利用球坐标计算三重积分(应用)

16、直角坐标下曲面的面积计算公式(应用)

17、参数形式下的曲面的面积计算公式(应用)

18、重积分在物理中的应用(应用)

19、格林公式（应用）

（二十二）曲面积分

1．第一型曲面积分

（1）第一型曲面积分的概念

（2）第一型曲面积分的计算

2．第二型曲面积分

（1）第二型曲面积分的概念

（2）第二型曲面积分的计算

3．高斯公式与斯托克斯公式

（1）高斯公式

（2）斯托克斯公式

应重点掌握的内容：

1、第一型曲面积分的定义(识记)

2、第一型曲面积分的物理意义(领会)

3、直角坐标下的第一型曲面积分的计算(应用)

4、参数形式下的第一型曲面积分的计算(应用)

5、第二型曲面积分的定义(识记)

6、第二型曲面积分的物理意义(领会)

7、直角坐标下的第二型曲面积分的计算(应用)

8、参数形式下的第二型曲面积分的计算(应用)

9、两类曲面积分之间的联系(应用)

10、高斯公式(应用)

11、斯托克斯公式(应用)

四、课程学时分配

五、课程的实践要求与内容

六、考核与成绩评定

1.考核方式：闭卷

2.考核标准与比例：百分制，期中10%+平时20%+学期小论文10%+期末60%

制定人：刘玉军

审定人：连颖颖

学院审核人：朱石焕

《数学分析三》课程实践教学大纲

一、学期小论文目的及任务

加深对本学期内容的了解，使学生培养查阅文献的能力和写数学论文的研究能力。

二、学期小论文的基本要求

按规范、要求写一篇论文

三、实习地点及要求

校内

四、学期小论文的内容

小论文

五、学期小论文的具体日程安排

六、考核及成绩评定

占总成绩的10%

制定人：刘玉军

审定人：连颖颖

学院审核人：朱石焕