课程编码：	S110023001			学分：	5
英文名称：	Mathematical Analysis
学时：	84学时
开课学期：	第一学年1学期
适用专业：	数学与应用数学专业
课程平台：	专业教育平台
课程模块：	学科基础课程模块
先修课程：
教材：《华东师范大学数学系编《数学分析》（面向21世纪课程教材），北京：高等教育出版社出版，第四版，2010年7月
主要参考书：
[1] 陈傅璋等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1962
[2] 欧阳光中等，数学分析，上海：上海科学技术出版社，1982。
[3] 刘玉琏等，数学分析讲义（第三版），北京：高等教育出版社，1992。

一、课程性质及任务

1．课程性质：数学分析是数学与应用数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学与应用数学、统计学专业一、二年级学生的必修课。本课程总学时为276学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I），数学分析（II），数学分析（III）

2．课程任务：本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础。

二、课程目标

《数学分析》是数学系最重要的基础课.它对后继课程(微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、泛函分析)与近代数学的学习与研究具有非常深远的影响和至关重要的作用.通过本课程的学习，使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论、基本方法，培养学生运用所学的理论和方法分析和解决问题的能力，为后继课打下坚实的基础。

三、课程的教学要求

（一）实数与函数

1．实数

（1）实数及其性质

（2）绝对值与不等式

2．确界原理

（1）区间与邻域

（2）有界集、确界原理

3．函数概念

（1）函数的定义，函数的表示方法

（2）函数的四则运算

（3）复合函数、反函数、初等函数

4．具有某些特性的函数

（1）有界函数

（2）单调函数

（3）奇函数和偶函数

（4）周期函数

１、正确理解和掌握函数概念，了解函数的各种表示法和记号；理解和掌握函数的四则运算与复合，会求函数的定义域；掌握反函数的定义和图象等。

２、理解和掌握有界函数与无界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等概念。

３、熟练掌握五种基本初等函数的定义与性质，能熟练地绘出它们的草图。

４、了解几个常用的非初等函数的例子。

（二）数列极限

1．数列极限的概念

（1）数列极限的定义

（2）的几何意义

2．收敛数列的性质

（1）唯一性、有界性、保序性

（2）收敛数列的四则运算

3．数列极限存在的条件

（1）单调有界原理

（2）柯西收敛准则

１、理解和掌握数列极限与函数极限的概念，掌握它们的有关性质。

２、理解和掌握无穷小量与无穷大量的概念，掌握它们的有关性质。

３、会用“ε- N”、“ε- δ”、“ε- E” 等语言处理极限的有关问题。

４、能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理与两个重要极限，熟练地求极限。

（三）函数极限

1．函数极限的概念

（1）X→∞时函数的极限

（2）X→X₀时函数的极限

2．函数极限的性质

（1）唯一性、保号性、迫敛性

（2）极限的四则运算

3．函数极限存在的条件

（1）归结原则

（2）柯西收敛准则

4．两个重要的极限

（1）

（2）

5．无穷小量与无穷大量

（1）无穷小量与无穷小量阶的比较

（2）无穷大量

应重点掌握的内容：

1、函数在一点的极限存在和不存在的分析定义(识记)

2、用定义验证函数在一点的极限，求出定义中的的表示(应用)

3、函数在一点的左右极限的定义,极限的存在与左右极限之间的关系(识记)

4、函数当自变量趋于无穷时的极限存在和不存在的分析定义(识记)

5、函数极限Cauchy准则及否命题(应用)

6、函数极限的性质(应用)

7、两个重要极限(应用)

8、无穷小量与无穷大量(应用)

（四）函数的连续性

1．连续性概念

（1）函数在点连续和在区间上连续的概念

（2）间断点及其分类

2．连续函数的性质

（1）一致连续的局部性质

（2）闭区间上连续函数的基本性质

（3）反函数的连续性

（4）一致连续性

（5）初等函数的连续性

应重点掌握的内容：

1、函数在一点连续和不连续的定义(识记)

2、函数在一点的左右连续的定义(识记)

3、函数在区间上的连续的定义(识记)

4、闭区间上的连续函数的性质的几何解释(应用)

5、反函数的连续(应用)

6、一致连续的定义(识记)

(五)导数和微分

1．导数的概念

（1）导数的定义；导函数

（2）导数的几何意义

2．求导法则）

（1）导数的四则运算

（2）反函数的导数

（3）复合函数的导数

（4）含参量函数的导数

3．高阶导数

（1）高阶导数的定义

（2）莱布尼兹公式

4．微分

（1）微分的概念

（2）微分的运算法则

（3）高阶微分

应重点掌握的内容：

1、导数的定义(识记)

2、导数的四则运算(应用)

3、反函数的导数(应用)

4、复合函数的导数(应用)

5、含参量函数的导数(应用)

6、高阶导数的定义(识记)

7、莱布尼兹公式(应用)

8、微分的概念(识记)

9、微分的运算法则(应用)

10、高阶微分(识记)

（六）微分中值定理及其应用

1．拉格朗日定理和函数的单调性

（1）罗尔定理与拉格朗日定理

（2）单调函数

2．柯西中值定理和不定式的极限

（1）柯西中值定理

（2）不定式的极限

3．泰勒公式

（1）带有皮亚诺型余项的泰勒公式

（2）带有拉格朗日型余项的泰勒公式

（3）在近似计算上的应用

4．函数的极值与最值）

（1）极值判别的充分条件

（2）最大值与最小值

5．函数的凸性与拐点

（1）凸性的定义及判别

（2）拐点的定义及判别

6．函数图象的讨论）

应重点掌握的内容：

1、罗尔定理,拉格朗日定理,柯西中值定理(应用)

2、型极限,型极限,其它不定型极限(应用)

3、带有皮亚诺型余项的泰勒公式,带有拉格朗日型余项的泰勒公式(应用)

4、带有皮亚诺型余项的马克劳林公式,带有拉格朗日型余项的马克劳林公式(应用)

5、函数的极值判别的充分条件(应用)

6、最大值与最小值(应用)

7、凸性的定义及判别(识记)

8、拐点的定义及判别(识记)

9、函数在各区间上性质的确定(识记)

10、图象的描绘(应用)

四、课程学时分配

五、考核与成绩评定

1.考核方式：闭卷

2.考核标准与比例：百分制，期中10%+平时30%+期末60%

制定人：刘玉军

审定人：连颖颖

学院审核人：朱石焕